Milleniumrätsel bald gelöst?

EIN CHINESE HAT ES GEKNACKT…

Es ist das wohl älteste ungelöste Problem der Mathematik: Im Jahr 972 tauchte das Rätsel der sogenannten kongruenten Zahlen erstmals in einem arabischen Manuskript auf. Im Laufe der Jahrhunderte sind Generationen von Mathematikern daran verzweifelt, darunter Genies wie Leonardo Fibonacci und Pierre de Fermat.

Milleniumrätsel

Nun ist der Chinese Ye Tian der Lösung endlich ein Stück nähergekommen. Im Fachblatt “Proceedings of the National Academy of Sciences” und auf der Preprint-Plattformarxiv.org berichtet er über die Lösung eines Spezialfalls.

Das Problem gehört zur Zahlentheorie, mit der Mathematiker unter anderem die Geheimnisse von Primzahlen ergründen. Es hat aber auch einen direkten Bezug zur Geometrie. Eine natürliche Zahl n gilt als kongruent, wenn es ein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Fläche genau n entspricht.

Kongruente Zahlen

Und wenn jede der drei Seitenlängen eine rationale Zahl ist – also ein Bruch zweier ganzer Zahlen p/q. Die 6 beispielsweise ist eine kongruente Zahl. Das zugehörige rechtwinklige Dreieck hat die Seitenlängen 3, 4 und 5, seine Fläche beträgt 3*4/2=6.

Fermat konnte 1659 zeigen, dass 1 keine kongruente Zahl ist. Mehr als 400 Jahre zuvor hatte der Italiener Fibbonacci dies nur vermutet – ein Beweis gelang ihm nicht. Die kleinste kongruente Zahl ist übrigens die 5 – die Seitenlängen dazu sind 20/3, 3/2, 41/6. Auch 7, 14 und 34 sind kongruent – 10, 11 und 17 hingegen nicht.

Wie aber findet man kongruente Zahlen? Woran erkennt man sie? Eine schier unlösbare Aufgabe, schließlich gibt es zu jeder Zahl unendlich viele rechtwinklige Dreiecke, die man theoretisch untersuchen muss. Beispiel 7: Die beiden Dreieckseiten am rechten Winkel können 14 und 1 lang sein – aber auch 7 und 2 oder 14/3 und 3 – stets ist die Fläche 7. Doch in allen drei Fällen ist die Länge der dritten Seite, Hypotenuse genannt, keine gebrochene, sondern eine irrationale Zahl – leicht auszurechnen mit dem Satz des Pythagoras. Trotzdem gibt es ein Dreieck mit der Fläche 7 und rationalen Seitenlängen, und zwar 288/60, 175/60 und 337/60.

“Das ist das wichtigste ungelöste Problem der Zahlentheorie”, sagt John Coates von der Cambridge University. Im Jahr 2000 hat das amerikanische Clay Mathematics Institute sogar eine Million Dollar für die Lösung dieses Rätsels ausgelobt. Es gehört damit zu den sieben Millenium-Problemen, den schwierigsten Kopfnüssen für Mathematiker im dritten Jahrtausend. Geknackt wurde bislang erst ein einziges der Mammuträtsel: die Poincaré-Vermutung durch den Russen Grigorij Perelman im Jahr 2002.

Der Mathematiker Ye Tian von der Chinesischen Akademie der Wissenschaften hat den Schleier um die kongruenten Zahlen nun zumindest ein Stück gelüftet. Er hat Zahlen untersucht, in deren Primzerlegung keine Zahl doppelt oder mehrfach auftritt. Das trifft zum Beispiel für 6 = 2*3 zu, nicht aber für 12 = 2*2*3. Tian konnte zeigen, dass es unendlich viele kongruente Zahlen der Form 8n+5, 8n+6 und 8n+7 gibt, die k paarweise verschiedene Primfaktoren haben.

Ein Beispiel für eine solche kongruente Zahl ist die 15. Sie hat mit 3 und 5 zwei verschiedene Primfaktoren (k=2). Und 15 genügt der Form 8*1+7=15. Das dazu passende rechtwinklige Dreieck mit der Fläche 15 hat die Seitenlängen 15/2, 4 und 17/2.

Coates lobt Tians Arbeit als “Meilenstein in der Geschichte eines alten Problems”, obwohl der Chinese nur einen Spezialfall gemeistert hat.

UNSER BUCHTIPP ZUM THEMA

Auch die Geschichte des Doktor Faust ist voller Rätsel. Albrecht Behmel nähert sich der Lösung auf satirische Weise :

Die Geschichte des Doktor Faustus ist ein Stoff, an dem sich viele alte Meister versucht haben: Marlowe, Heine, Goethe, und Rembrandt zum Beispiel sahen in Faust einen tragischen Helden, der sein Seelenheil gegen Wissen und Macht eintauschte – doch die alten Meister liegen damit alle total daneben.faust

Faust ist Gelehrter und Alchemist an der Universität Heidelberg, aber er ist nicht glücklich damit: Sein Fürst verlangt von ihm, aus Dreck Gold zu machen; seine nörgelnde Mutter weigert sich, das Bett zu verlassen; Studenten, Fakultätsrat und Assistenten nerven, aber vor allem ist Faust noch eines: Junggeselle.

Da tritt, direkt vom Lieben Gott gesandt, der Teufel in Gestalt des eleganten Mephisto auf und bietet Faust einen verlockenden Deal an. Sie begeben sich auf eine verteufelte Reise durch das Deutsche Reich des Spätmittelalters, um den Sinn des Lebens und das Glück zu finden, begegnen der wunderschönen Margarete und ihrer ausgebufften Freundin Marte und gehen auf eine Walpurgisnacht, die ihnen die Augen öffnet: Man kann erst zur Hölle zu gehen, wenn das Ende happy ist.

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Autoreninfo & Blog

ALBRECHT BEHMEL

Albrecht hat in Heidelberg und Berlin Geschichte, Philosophie und Politik studiert. Seit 1999 ist er Autor für Film, Print, Radio und TV, unter anderem für UTB, SR, ARTE, Pro7Sat1 und den RBB.Bilderrahmen, behmel

Er lebt seit 2012 mit seiner Frau Afraa und seinem Sohn Wieland im Schwarzwald. In diesem Blog geht es um Bücher, Publikationen und kreative Prozesse.  Als Romanautor und Stoffentwickler beschäftigt Albrecht sich mit allem, was im menschlichen Zusammenleben schief laufen kann: Technik, Kommunikation, Fortschritt, Investitionen und die trügerische Hoffnung, dass “es” nur noch besser werden kann. Derzeit arbeitet er an einem Musical für Kinder und Jugendliche und an einem Krimi über Berlin.

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